Du er en grulig rar Dreng til at skrive og vi er alle saa glade over at høre, at Du har det saa godt. Harald er kommet hjem fra den første skriftlige Opgave; han var meget tilfreds, imorgen skal han til den 2den mathematiske og paa Torsdag til den fysiske. Han skal sikkert op, det mener han da, Torsdag den 1ste; saa Du reiser vel saa Onsdag fra 1v | Fyen og er her Onsdagaften det mente Far og Harald.
Det er storartet at det gaar saa let for Harald; han er ikke Spor af nervøs hvad der er dejligt for os og mest selvfølgelig for ham. Moster Hanne var saa glad for et vittigt Kort fra Dig. Jenny skrev saa fornøjet om en dejlig Kanetur; hun sendte Dig de venligste Hilsner. Lily var i Gaar paa Boldtbanen, men der blev ikke spillet for Banens Skyld, at den ikke 2r |skulde ødelægges. Den næste Bogpakke fra Michaelsen var ikke særlig god heller, Eventyr af Otto Larsen, Fortællinger af Evald og en iøvrigt god Bog af Hamsun “Benoni”, men den var lidt langtrukken. Nu farvel min søde Dreng, Far og Ribs sender de kærligste Hilsner.
Harald skriver imorgen Opgavens Ordlyd,
her fik jeg den
Min Opgave i Dag var uforskammet let. Den hed: At integrere Differentialligningen
$$x^2\frac{d^{n+2}y}{{dx}^{n}}+(2n+1)x\frac{d^{n+1}y}{dx^{n}}+(n^2+1)\frac{d^{n}y}{dx^n}=0$$
Jeg løste den dels ved umiddelbart at sætte \(y=x^r\) og bestemme \(r\)
samt dels ved at løse den Ligning af 2den Orden der fremkommer ved at sætte \(\frac{d^{n}y}{{dx}^{n}} = p\)
og dernæst integrere det for \(p\) fundne
udtryk \(n\) Gange, samt endelig ved gennem en
Variabeltransformation \(x=e^t\) at omdanne
Ligningen til en lineær Ligning med konstante Koefficienter. Jeg antager
Løsningen var rigtig da alle 3 Metoder gav samme Resultat, nemlig
\(y=c_1+c_2x+\cdots+c_nx^{n-1}+c_{n+1}\cos(\log x)+c_{n+2}\sin(\log x)\)
