Tusind Tak for Dit Kort; jeg er endnu ikke begyndt paa
Stadierne, da jeg er midt i (jeg vil
skam sige lige begyndt) paa Goethes Dichtung und
Wahrheit, som jeg gerne vil læse færdig først, før jeg
begynder paa Kierkegaard; jeg glæder mig meget til naar Tidens Fylde kommer at
udveksle Bemærkninger med Dig om den. I Overmorgen begynder mine Forelæsninger. I
Gaar var en meget interessant Dag; den var helliget de transfinite Cantorske Tal;
Poincaré holdt først et Foredrag
Kl. 10 og bagefter Kl. 6 var en lang og interessant Diskussion i
Math. Gesell., navnlig Hilberts Bemærkninger var meget interessante. – Jeg arbejder
foreløbig noget spredt, har om Smaating saasom Eksempler paa Dirichletsche Rækker,
der ikke har en Singularitet paa selve 1v
|Konvergenslinien, men derimod i
“beliebiger Nahe” og lignende udvekslet en Række Breve med Landau, idet jeg, som han har bedt mig om,
har dannet alle saadanne Eksempler; det er ihvert Tilfælde en gavnlig Øvelse i at
skrive paa Tysk man derved erhverver sig. Jeg har endvidere bevist en saadan lille
Sætning, der kan benyttes meget i den anal. Taltheori: naar \(|n\cdot a_n|\:\) < Konst. og \(\lim
\frac{S_1 + \cdots + S_n}{n}\) existerer er Rækken \(\sum a_n\) altid konvergent .
Beviset er meget let at føre, men ganske kuriøst. – Jeg er nu begyndt at tage fat
paa mine egne Ting og glæder mig meget til at udgive dem. De er efterhaanden vokset
til en ret anseelig Mængde. Jeg vil blot her give et Eksempel paa noget jeg vist har
fortalt Dig før. Integralet \(\int_0^\infty
e^{it}t^{x-1}dt\) er jo et “Dirichlet’s Integral” (ses strax naar
\(x-1\) sættes lig \(-y\); de Diri. Int. er nemlig af Form \(\int_0^\infty \frac{f(t)}{t^y}dt\); for disse Integraler har jeg
bevist, at naar de er summable af en vis Orden i et Punkt 2r
|er de altid
summable af samme Orden i Halvplanen tilhøjre
derfor (analogt med
Node-Sætningen). Jeg vil her blot vise, hvor simpelt man kan vise Summabili. af det
omtalte Integral \(\int_0^\infty e^{it} t^{x-1}
dt\) i hele Halvplanen tilvenstre (da vi her har \(t^x\) “i Tælleren” og ikke
“i Nævneren”)
Lad \(x=n+1\) Da faas
$$s(x) = \int^x_0e^{it} \, {t^n dt} =
\frac{1}{i}e^{ix} \cdot x^{n} +\cdots + (i)^{n + 1} \cdot n!$$
(dette giver en simpel delvis Integration)
$$s(x)
\quad\text{altsaa lig}\quad \sum_{r=0}^n k_r \cdot e^{ix} \cdot x^r + (i)^{n +
1} \cdot n!$$
da nu vi skal integrere \(s(x)\) o.s. ...
\(n+1\) Gange endnu og derefter dividere med
\(x^{n+1}\)
(\(n\) ukendt) og gaa til Grænsen (\(x=\infty\)) ser man
strax at ved denne Operation den første Størrelse maa give \(0\), (der kan nemlig aldrig komme højere Potenser end \(x^n\) (enten mult. med \(e^{ix}\) eller med konst.) Da den anden Størrelse allerede er
konstant (uafh. af \(x\)) faas Summabilitetværdien
altsaa lig \(i^{n+1}\cdot n!\:\) Nu er efter
Niels Nielsen
Gammafunktionen 2v
|
$$\int^{\infty}_{0} e^{it} \cdot t^{x-1} dt = \Gamma(x)
\cdot e^{\frac{\pi xi}{2}} \quad \text{altsaa} $$
$$\int^{\infty}_0 \, e^{it} \, t^n \, dt = \Gamma (n +
1) \cdot e^{\frac{\pi i}{2} \cdot (n + 1)} = n! \, (i)^{n + 1}$$
saa det stemmer jo godt nok. – Jeg er endvidere i Færd med Summabiliteten for
Rækken med de fuldstændigt vilkaarlige \(x_0 \; x_1 \cdots
x_n \cdots\); de volder en Del Knuder og jeg tror jeg nøjes med i
Doktordisputatsen at gennemføre de specielle Rækker \(\sum
\frac{a_{n}}{n^x}\) og Integralerne fuldtud og nøjes med
Summabiliteten af 1ste Orden for de vilkaarlige Rækker (hvor jeg
saa da kan lade Indicesrækken være fuldt vilkaarlig). Naa nu skal jeg ikke plage Dig
længere, da jeg endnu jo heller ikke noget som vil være Dig overraskende at meddele.
Jeg var forleden hos Prof Verworn med et meget blandet Selskab (1 Tysker
Pr. V. en Englænder fru V., en Russer, en Japaner, en Ungarer og saa jeg). Der var
meget hyggelig og rart. Nu Farvel for i Dag og hav det rigtig rigtig godt og hils
Familien Møllgaard mange Gange
P.S. Anemonerne staar stadig storartet og pynter paa Skrivebordet.
