1909. 8. september.

Jeg haaber ikke, at Du bliver ked af, at jeg endnu engang trætter Dig med den samme Sludder.

Det drejer sig om Størrelsen $$\begin{array}{r}III\\ Q_n=(\frac{o_1^2+o_2^2\cdots o_n^2}{n})-(\frac{o_1+o_2\cdot \cdot o_n}{n}{)}^2\end{array}$$

hvor $o$’erne er tilfældigt udtagne, kun knyttede sammen ved en eller anden Fejllov, deres Kvadrater har altsaa ogsaa en bestemt Fejllov. Det drejer sig nu dels om Middeltallet, for uendelig Gentagelse, af $Q_n$ (naar $o$’erne varierer), dels om dette Middeltals Variation naar $n$ forandrer sig.

Middeltal for Uendelig Gentagelse betegnes ved $\lambda$. Jeg synes nu at vi faar$$\begin{array}{r}III\\ \lambda (Q_n)=\lambda (o_n\cdot o_n)-(\frac{1}{n}\cdot \lambda (o_n\cdot o_n)+\frac{n-1}{n}\cdot \lambda (o_n\cdot o_m)),\end{array}$$
hvor $\lambda (o_n\cdot o_m)$ ikke er lig $\lambda (o_n\cdot o_n)=\lambda (o^2)$. Det ses heraf at $I$ forbliver uforandret, naar $n$ varierer; men ikke $II$. Resultatet bliver$$\lambda (Q_n)=\frac{n-1}{n}(\lambda (o_n\cdot o_n)-\lambda (o_m\cdot o_n)),$$ hvilket umiddelbart giver Udtryk for Thieles Resultat $$\lambda (Q_n)=\frac{n-1}{n}\underset{n=\mathrm{\infty }}{lim}(\lambda (Q))$$ Thieles eget Bevis er iøvrigt fuldkommen rigtig, idet det er fuldstændig tilladeligt ved Beregningen af $\lambda ((o_m-o_n{)}^2)$ at se bort fra de forholdsvis uendeligt sjældne Tilfælde, hvor $o_m=o_n$.

Ved Din Opringning (Tak!), har Du jo gjort Afsendelsen af dette dengang næsten færdigskrevne Kort noget unødvendig, men jeg sender det dog med en Hilsen og Haab om at Du og Mor morer jer, og at Mof synes bedre om I.P.