Tusind Tak for Dit Kort; jeg er endnu ikke begyndt paa Stadierne, da jeg er midt i
(jeg vil skam sige lige begyndt) paa Goethes Dichtung und
Wahrheit, som jeg gerne vil læse færdig først, før jeg begynder paa
Kierkegaard; jeg glæder mig meget til naar Tidens Fylde
kommer at udveksle Bemærkninger med Dig om den. I Overmorgen begynder mine
Forelæsninger. I Gaar var en meget interessant Dag; den var helliget de transfinite
Cantorske Tal; Poincaré holdt først et Foredrag Kl. 10 og
bagefter Kl. 6 var en lang og interessant Diskussion i Math. Gesell., navnlig
Hilberts Bemærkninger var meget interessante. – Jeg
arbejder foreløbig noget spredt, har om Smaating saasom Eksempler paa Dirichletsche
Rækker, der ikke har en Singularitet paa selve 1v|Konvergenslinien, men
derimod i “beliebiger Nahe” og lignende udvekslet en Række Breve med
Landau, idet jeg, som han har bedt mig om, har dannet alle
saadanne Eksempler; det er ihvert Tilfælde en gavnlig Øvelse i at skrive paa Tysk
man derved erhverver sig. Jeg har endvidere bevist en saadan lille Sætning, der kan
benyttes meget i den anal. Taltheori: naar \(|n\cdot
a_n|\:\) < Konst. og \(\lim \frac{S_1 +
\cdots + S_n}{n}\) existerer er Rækken \(\sum
a_n\) altid konvergent. Beviset er meget let at føre, men ganske
kuriøst. – Jeg er nu begyndt at tage fat paa mine egne Ting og glæder mig meget til
at udgive dem. De er efterhaanden vokset til en ret anseelig Mængde. Jeg vil blot
her give et Eksempel paa noget jeg vist har fortalt Dig før. Integralet \(\int_0^\infty e^{it}t^{x-1}dt\) er jo et “Dirichlet’s
Integral” (ses strax naar \(x-1\) sættes lig
\(-y\); de Diri. Int. er nemlig af Form
\(\int_0^\infty \frac{f(t)}{t^y}dt\); for
disse Integraler har jeg bevist, at naar de er summable af en vis Orden i et Punkt
2r|er de altid summable af samme Orden i Halvplanen tilhørende derfor
(analogt med Node-Sætningen). Jeg vil her blot vise, hvor simpelt man kan vise
Summabili. af det omtalte Integral \(\int_0^\infty e^{it}
t^{x-1} dt\) i hele Halvplanen tilvenstre (da vi her har \(t^x\) “i Tælleren” og ikke
“i Nævneren”)
Lad \(x=n+1\) Da faas
$$s(x) = \int^x_0e^{it} \, {t^n dt} =
\frac{1}{i}e^{ix} \cdot x^{n} +\dots+ (i)^{n + 1} \cdot n!$$
(dette giver en simpel delvis Integration)
$$s(x)
\quad\text{altsaa lig}\quad \sum_{r=0}^n k_r \cdot e^{ix} \cdot x^r + (i)^{n +
1} \cdot n!$$
da nu vi skal integrere \(s(x)\) o.s. ...
\(n+1\) Gange endnu og derefter dividere med
\(x^{n+1}\)
(\(n\) ukendt) og gaa til Grænsen (\(x=\infty\)) ser man
strax at ved denne Operation den første Størrelse maa give \(0\), (der kan nemlig aldrig komme højere Potenser end \(x^n\) (enten mult. med \(e^{ix}\) eller med konst.) Da den anden Størrelse allerede er
konstant (uafh. af \(x\)) faas Summabilitetværdien
altsaa lig \(i^{n+1}\cdot n!\:\) Nu er efter
Niels Nielsen Gammafunktionen 2v|
$$\int^{\infty}_{0} e^{it} \cdot t^{x-1} dt = \Gamma(x)
\cdot e^{\frac{\pi xi}{2}} \quad \text{altsaa} $$
$$\int^{\infty}_0 \, e^{it} \, t^n \, dt = \Gamma (n +
1) \cdot e^{\frac{\pi i}{2} \cdot (n + 1)} = n! \, (i)^{n + 1}$$
saa det stemmer jo godt nok. – Jeg er endvidere i Færd med Summabiliteten for
Rækken med de fuldstændigt vilkaarlige \(x_0 \; x_1 \cdots
x_n \cdots\); de volder en Del Knuder og jeg tror jeg nøjes med i
Doktordisputatsen at gennemføre de specielle Rækker \(\sum
\frac{a_{n}}{n^x}\) og Integralerne fuldtud og nøjes med
Summabiliteten af 1ste Orden for de vilkaarlige Rækker (hvor jeg
saa da kan lade Indicesrækken være fuldt vilkaarlig). Naa nu skal jeg ikke plage Dig
længere, da jeg endnu jo heller ikke noget som vil være Dig overraskende at meddele.
Jeg var forleden hos Prof Verworn med et meget blandet
Selskab (1 Tysker Pr. V. en Englænder fru V., en Russer, en Japaner, en Ungarer og
saa jeg). Der var meget hyggelig og rart. Nu Farvel for i Dag og hav det rigtig
rigtig godt og hils Familien Møllgaard mange Gange
P.S. Anemonerne staar stadig storartet og pynter paa Skrivebordet.
P.S. Jeg siger med for i “store Forventninger” Sikke Sjov, eller der staar vist Sikke Løjer naar vi igen samles i København. Hurra!