Tusind Tak for Dit Brev og for Dine Raad med Hensyn til Foredraget (som jeg forøvrigt endnu ikke har anmeldt) som jeg netop trængte til, idet jeg maa indrømme, at efter en ganske kort foreløbig Disposition jeg havde lagt, vilde ikke blot mit lille Glas flyde over, men man maatte befrygte en hel Oversvømmelse i Auditoriet, hvorved en stor Del kunde være ved at drukne, og jeg vil ikke – for at føre den Tanke videre – om selv et nok saa godt Indhold – jeg taler nu ikke mere om Foredraget – er lifligt at smage, naar man er i Færd med at drukne i det. Efter denne Rasmus Pedersen Indledning d.v.s. en Ting der er Sludder og dog ikke er andet end Sludder, men som knytter sig til en fornuftig Mening hos en anden Mand, gaar jeg nu over til ganske kort at meddele en Sætning jeg har fundet og som om jeg maa sige passer i mit Kram. Nemlig:
Har en Dirichlet’s Række \(f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^x}\) Summabilitets Linien og \(m^\text{te}\) Orden (Du forstaar hvad jeg mener Grænsen for l’indétermination \(m\) fois) \(\lambda_m\), da kan \(f(x)\) tilhøjre for \(\lambda_m\) ikke vokse stærkere end \(t^{m+1}\), naar jeg bevæger mig op ad en Ordinat \((x=\varsigma+it)\), eller nøjagtig udtrykt, betegnes \(\delta\) en nok saa lille positiv Størrelse findes der 2 Konstanter \(K_1\) og \(K_2\) saaledes at for \(R(x)\geq  \lambda_m + \delta\) $$|f(x)|  <K_1\cdot t^{K_2}$$ (\(K_2\) er altsaa omvendt  \(=m\), men det kommer vist ikke an paa Værdien.)

Jeg ser at jeg har faaet Indledningen galt i Halsen; denne Sætning er meget let at udlede og er ikke dum. Jeg vil meddele Dig, men kun en Orientering for den næste, der hedder:
Er \(X\) Grænsen (Dedekindske Snit) for de Abscisser \(b\) tilhøjre for hvilke  \(|f(x)|  < K_1\cdot t^{K_2}\) (for overhovedet Værdien af \(K_1\) og \(K_2\) der naturligvis gerne maa afhænge af \(b\)), og for de Abscisser \(c\) for hvilke der ikke findes saadanne Konstanter \(K_1\) og \(K_2\) at tilhøjre for \(c\) \(|f(x)|  < K_1\cdot t^{K_2}\) (\(t\) betegner stadig den imaginære Komponent til \(x\)) da kan altsaa i Følge det foregaaende Summabilitets'gebeteten sikkert ikke strække sig ind over \(X\). Jeg har nu bevist (ved Hjælp af en Sætning af Landau, der er udledt til ganske andet Brug for et Par Aar siden og ikke i mindste Maade selv ikke Indirekte har med Summabi. sagen at gøre) følgende Sætning.
1) Enten er fra et vist \(m\) af \(\lambda_m = X\) eller ogsaa er
\(\lambda_1 > \lambda_2\) (ikke større eller lig, men større)  \(> \lambda_3 \cdots \)
\(\lambda_m > \lambda_{m+}\cdots\) linie \(\lambda_m=X\).
Dette gælder ogsaa for \(X=-\infty\), d.v.s. hele Planen. (Jeg har glemt at bemærke at naturligvis skal foruden Betingelsen paa forrige Side, Funktionen \(f(x)\) naturligvis være regulær tilhøjre for \(X\).)

Hermed er egentlig Summabilitetsspørgsgmaalet paa en vis Maade bragt til Afslutning.

Man ved altsaa bestemt, hvor langt Rækken gennem Summabilitet (i Cesaro’sk Forstand) kan anvendes. Om Summabiliteten nødvendigvis fører til det første singulære Punkt er følgelig nu identisk med følgende Spørgsmaal, “gives der Dirichletske Rækker \(\sum \frac{a_{n}}{n^{x}}\) for hvilke Funktionen, der fremstilles er regulær i en vis Strimmel over Konvergenslinien og i denne Strimmel vokser, naar jeg gaar til vejrs efter en Ordinat stærkere end enhver Potens af Ordinaten. Man kender hidtil ikke Eksempler; jeg vil nu tænke nærmere over det, man tror ikke at kunne løse dette Spørgsmaal eller rettere ser ingen Vej at fange an, der med nogen Rimelighed kan føre til Besvarelsen. – Naa dette Spørgsmaal knytter sig jo ogsaa kun indirekte til Summabiliteten og for denne sidste har jeg altsaa angivet den “om jeg saa maa sige nødvendige og tilstrækkelige Grænse”. Nu skal jeg ikke plage Dig mere med mine Ting (og har forøvrig heller ikke væsentlig mere at berette), da Du skal have Lov til at være i Fred nu lige før Examen (en smuk Sætning lige efter at man har malet flere Sider Mathematik op til Dig). Du beder nok Mor straks at skrive naar Du har faaet Din Opgave hvad den nøjagtige Ordlyd er; jeg har faaet et Par rare Kort fra Moster Hanne.

Vi har ikke alene Bøg men f. Eks. uden for mit Vindue ogsaa Roser (i hvert Tilfælde en Slags). Nu Farvel for i Dag. Du maa ikke tro min Skrift paa Grund af det sydlige Klima har udartet til denne mærkelige Klo, det er kun naar Farten er bleven for stor og det derfor er nødvendigt at gribe til extraordinære Midler for at gøre Skriften læselig, at jeg omsætter Hastigheden i Bredde. Med 1000 Hilsner og Ønsket om og Troen paa en rar Opgave.